考虑维修时机械可靠性的统计分析方法

        机械产品，如工程机械、汽车、机床等，都是复杂的可修复系统，维修是其使用的前提条件。机械维修——包括预防维修与故障维修，其目的是为了保持和恢复机械的可靠性，因此，维修对机械的可靠性影响较大。长期以来，人们一直致力于可修系统可靠性的研究，并取得了一定的进展。但多数研究对象为电子系统，对机械系统，通常不考虑预防维修的影响或假设预防维修恢复如新和故障数据独立同分布等，采用简单样本统计方法进行分析。这都掩盖了维修对可靠性的影响，使研究结果与实际相差较大。本文在分析机械故障与维修特性的基础上，根据机械使用中应用较广的维修模型，利用现场使用数据，对其可靠性和预防维修影响程度进行统计分析，阐明了在预防维修与故障维修作用下机械可靠性分析的一般方法。

1　机械故障与维修的基本特性

   1.1　故障特性
　　机械使用中，在各种载荷及环境应力作用下，零部件会出现各种损伤，并随时间逐渐恶化，使其结构参数发生改变，结构参数的变化又使机械的功能输出参数逐渐远离正常值。图1为机械功能输出参数X(t)的变化规律，图中，X_P和X_F分别为潜在故障和功能故障的判别标准，f(t，X_F)和f(t，X_P)为对应故障判别标准下的宏观故障分布密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示完好、失常和故障状态区域。从图中可以看出，机械故障具有以下特性。

图1　机械故障特性
参数变化规律

　　a.渐发性。机械故障绝大多数是由于磨损、腐蚀、疲劳、老化等损伤引起的，故障的产生与时间关系密切，且从潜在故障发展到功能故障具有较长一段时间，多数故障可以事先通过仪器进行测试和监控，因此通过预防维修可以减少功能故障的发生。
　　b.耗损性。机械磨损、腐蚀、疲劳、老化等过程伴随着能量与质量的变化，其过程是不可逆转的。表现为机械老化程度逐步加剧，故障越来越多。随着使用时间的增加，局部故障的排除虽能恢复机械的性能，但机械的故障率仍不断上升，新的故障将不断出现。同时损伤的消除也是不完全性的，维修不可能使机械的性能恢复到使用前的状态。
　　c.随机性。机械使用中，由于受到材料、制造与各种使用及环境条件的影响，其损伤输出参数及各种极限值、初始值与故障判别标准都具有一定的随机性与分散性，机械故障的随机性给机械故障的诊断与预防增加了一定的难度，在预防维修之间仍会有少量故障发生。
　　d.多样性。机械使用中，由于磨损、腐蚀、疲劳、老化过程的同时作用，往往存在多种故障机理，产生多种故障模式，这些故障不仅故障机理与表现形式不同，而且分布模型及在各级的影响程度也不同。机械故障的多样性说明系统故障数据不一定独立同分布。

    1.2　维修特性
　　a.机械维修包括维护保养与修理，维护保养又分为例行保养、定期保养和特殊条件下的保养；修理可分为故障小修、中修和大修等；其中维护保养属于预防维修，修理属于故障维修。
　　b.预防维修是建立在潜在故障基础上的，其目的是为了消除和减轻零件的损伤，保持机械的完好状态。机械中的例行保养和特殊条件下的保养是保证机械正常运行不可缺少的维修工作，其主要内容为清洁、润滑、添加、检查和紧定等，但主要是外表性的，其对机械的性能起维持作用，因此可以认为其不改变机械的年龄和故障率；定期保养通常分为一级、二级或三级保养，其主要内容为清洁、润滑、检查、调整和局部换件等，不同级别的保养对象和周期是不相同的，因而对机械的性能影响也不一样，保养级别越高，维修范围也越大，性能恢复也就越好，但根据机械故障的耗损性，维修都不可能恢复如新，因此预防维修一般都是不完全性的。
　　c.故障维修是建立在功能故障基础上的，其目的是为了排除故障，恢复机械的完好状态。机械中的故障小修是排除运行中的局部故障，维修工作通常以局部换件、调整为主，其只能恢复机械的功能，修复后机械性能和故障率与故障前一样，通常称这种维修为最小维修。机械的大、中修是一种较彻底的维修，其对机械的性能恢复较大，虽属于修理范畴，但可按预防维修的方法进行分析。

2　维修与可靠性模型

    2.1　维修模型
　　根据机械故障与维修的基本特性，机械中应用较广的一种维修模型为：
　　a.维修对象为机械部件、总成或系统，其具有耗损故障特性，需经常进行预防维修，如定期保养、定期检修、定期更换、定期检查视情维修等，以保持机械的完好状态。
　　b.预防维修的时刻为τ₁，τ₂，…，τ_k，其间隔可以相等，也可以不相等。预防维修后，机械性能得到较大程度的恢复，但不能恢复如新。
　　c.在两次预防维修之间，出现的故障通过局部故障维修进行排除，但维修为最小维修，修复后系统性能与年龄保持不变。
　　该模型如图2所示。从图中可看出，在预防维修作用下，机械故障率的发展虽得到一定程度的控制，机械的工作时间相应得到延长，但总的来说故障率还是随时间逐步上升的。

图2　机械维修模型

   2.2　可靠性模型
　　若在［τ_k-1，τ_k］内，故障时刻分别为t_k，1，t_k，2，…，t_k，rk，k=1，2，…，n，则故障数据具有下列关系：0≤t_1，1≤t_1，2≤…≤t_1，r1≤…≤t_k，1≤t_k，2≤…≤t_k，rk≤…≤t_n，1≤…≤t_n，rn其不一定独立同分布，因此不能用简单样本统计方法进行分析。考虑到故障维修是最小维修，其不改变系统的故障率，在其它条件不变的情况下，预防维修只改变系统的年龄，而不改变故障分布，因此，在不考虑维修时间时，故障点可用非齐次泊松过程进行分析^［3］。
　　设非齐次泊松过程的强度函数为λ(t)=λβt^β-1　t≥0，λ，β＞0，则在(0，t)时间内的累积强度函数为Λ(t)=λt^β　t≥0，在(0，t)时间内的无故障工作概率为R(t)=exp｛-Λ(t)｝=exp(-λt^β)。
　　若每次预防维修后，系统性能平均恢复系数为ξ，0≤ξ≤1，则第k次预防维修后，系统的故障率为^［4］

λ_k+1(t)=λ(t-ξ τ_k)　t≥τ_k　　　　　　　　(1)

在(0，t)内，τ_n≤t≤τ_n+1，机械的无故障工作概率为

　　　(2)

　当故障时间服从泊松过程时，此时β=1则R_n(t)=exp(-λt)=R(t)，可见，此时预防维修不起作用，因此机械故障一般不能用泊松过程描述。当预防维修周期相等且都为T时，τ_k=kT　k=1，2，…，n，则

当ξ=1时，预防维修后系统恢复如新，则R_n(t)=［R(T)］^n．R(t-nT)，当ξ=0时，预防维修不起作用，则R_n(t)=R(t)。

    2.3　预防维修周期
　　若平均每次故障维修费用为c₁，平均每次预防维修费用为c₂，则在一个预防维修周期内的单位费用为

　由优化理论可得，最佳预防维修周期为

　　　(3)

3　可靠性统计

　　下面利用现场统计数据对故障强度函数和预防维修恢复系数进行系数估计。
　　在预防维修区间［τ_k-1，τ_k］内，故障强度函数为

λ_k(t)=λ(t-ξτ_k-1)=λβ(t-ξτ_k-1)^β-1
t≥τ_k-1

　　故障次数为r_k，对应故障时间为t_k，1，t_k，2，…，t_k，rk　k=1，2，…，n，由可靠性理论可知，第j个故障时间的分布密度为f_kj(t_k，j)=λ_k(t_k，j)exp(-Λ_k(t_k，j))，累计故障强度函数为。则在［τ_k-1，τ_k］内故障时间的联合分布密度函数为

　　　　　　(4)

由于，所以。
　　若给定定时截尾时间τ^*∈(τ_n，τ_n+1)，则所有故障时间的联合分布密度函数为

　　　　　(5)

　　采用极大似然法进行参数估计，对数似然函数为^［5］

其中　

由，
得　　　(6)

　　　　(7)

　　　　　(8)

其中：Λ⁰_k=(τ_k-ξτ_k-1)^β-(τ_k-1-ξτ_k-1)^β；
　　　Λ¹_k=(τ_k-ξτ_k-1)^βln(τ_k-ξτ_k-1)-(τ_k-1-
　　　　　　ξτ_k-1)^βln(τ_k-ξτ_k-1)；
　　　Λ²_k=(τ_k-ξτ_k-1)^β-1-(τ_k-1-ξτ_k-1)^β-1。
　　将式(6)、(7)、(8)组成方程组，用数值法进行计算，可得λ、β、ξ的极大似然估计，，。

4　实例分析

　　以某机械系统为例，该系统在2年内收集的现场故障数据为1.16，1.51，1.54，2.13，2.63，3.86，3.87，3.95，4.07，4.63，4.92，4.94，5.01，5.12，5.37，5.64，5.90，6.09，6.12，单位为100天，其中1.54，2.63，5.12为预防维修时刻，6.12为截尾时间。平均故障小修费用为300元，平均预防维修费用为800元，根据上述模型可知：

τ₁=1.54，τ₂=2.63，τ₃=5.12，τ^*=6.12，r₁=2，
r₂=1，r₃=8，r₄=4，n=3，r=15，c₁=300，c₂=800

代入方程组，用数值法迭代求得，=0.367 9，=2.91，=0.77。故障强度函数为(t)=1.071t^1.91，故障强度函数曲线如图3所示。

图3　预防维修下故障强度函数曲线

　　400天时的可靠度为

　第二次预防维修后，400天时的任务可靠度为

R(400│263)=0.069 6

　　可见，系统使用可靠性较低。从图中也可以看出，在263与512之间，无预防维修，使系统故障率上升较多，应增加1～2次预防维修，以降低故障率，增加系统的使用可靠性。
　　若相等的预防维修周期T，则

因此，预防维修周期取158天较合适。

5　结论

　　a.本文所述方法对任何同类型的预防维修都可进行分析，如定期保养、定期检修、定期检查视情维修或大、中修等。因此它适用于任何具有耗损特性的机械系统。
　　b.文中所述模型，作者利用数值方法编制了计算程序，在计算机上求解方便易行。