2 近似双圆弧插补法

1. 基本原理
   如图1 所示，取出列表曲线的前四个数据点(1、2、3、4)，取其中相邻三点(1、2、3 和2、3、4)分别作圆弧(圆心为O₁)和圆弧(圆心为O₂)，求出点2处两圆弧法向(分别通过O₁和O₂)之间的转角A，根据A值是否大于允许值决定是否插补，若转角A过大，则进行插补，增加数据点。运算步骤如下：

   1. 如上述作出圆弧和，并求出转角A。
   2. 若A≤Dq允许，则1、2 两点之间的曲线(圆心为O₁的圆弧)已满足光滑要求，可按该曲线输出1、2 两点之间的数控加工代码；然后以点2 为第一点重新取四个数据点(即2、3、4、5)，重新开始步骤(1)。若A >Dq_允许，则进入步骤(3)。
   3. 求出和两圆弧截2、3 两点垂直平分线所得的线段中点3，作为新增数值点。
       
      图1
   4. 作和两段圆弧，求出点2 处两圆弧法向(分别通过圆弧 的圆心O₃和圆弧的圆心O₄)之间的转角a，则必有a<A(见图1)。
   5. 若a≤Dq_允许，则1、2 两点之间的曲线(圆心为O₃的圆弧)已满足光滑要求，可按该曲线输出1、2两点之间的数控加工代码；然后取2、3、3、4 四个数据点重新开始步骤(1)。若a>Dq_允许，则以1、2、3、3 四点重新开始步骤(3)。
      Dq_允许为修整工具在实际加工中允许的偏转角度，Dq_允许取值越小，成型砂轮的形状精度越高。
2. 分类讨论
   在实际处理过程中，分别对点1、2、3 和点2、3、4求圆弧方程或直线方程(当圆弧半径大于某设定值时，可将其看作直线)，在空间上可能构成三种类型的曲线关系。对不同类型曲线进行光顺处理时，其插补及转角处理方法也不尽相同，现分述如下：

    
   1. 类型1：第1、2、3 点和第2、3、4 点分别构成直线。此时四点共线，即A=0，满足A≤Dq_允许的光滑条件，不需进行插补运算，可输出相应的1、2 点之间的数控加工代码，然后进行下一步骤运算。
   2. 类型2：一直线与一圆弧相交，如图2所示。此时，直线与圆弧相交点的坐标为(x₂，y₂)和(x₃，y₃)，圆心坐标为(x₀，y₀)，半径为R，过圆心作圆弧平分线交圆弧于点(x₂，y₂)并垂直平分弦于点(x₂₃，y₂₃)，各点坐标均可求，因此有 |cosA|=|cosA|=[(x₀-x₂₃)²+(y₀-y₂₃)²]^½　R(1)
       
      图2
      若|cosA|≥cosDq_允许，即|A|≤Dq_允许，已满足光滑条件，不须进行插补点的运算，可在输出1、2 点之间的数控加工代码后进行下一步骤的运算。
      若|cosA|<cosDq_允许，即|A| >Dq_允许，不满足光滑条件，必须进行插补运算，插入点坐标为[(x₂₃ + x₂)/2，(y₂₃ + y₂)/2]。
   3. 类型3：两圆弧相交，如图3 所示。在两圆弧同向相交(见图3a)和两圆弧逆向相交(见图3b)两种情况下，圆弧相交点的坐标均为(x₂，y₂)和(x₃，y₃)，圆心坐标均分别为(x₀₁，y₀₁)和(x₀₂，y₀₂)，对应半径均分别为R₁和R₂，过圆心作圆弧平分线交圆弧于点(x₂，y₂)和(x₃，y₃)并垂直平分弦于点(x₂₃，y₂₃)，各点坐标均可求，根据余弦定理均可得 |cosA|=|(x₂-x₀₁)(x₂-x₀₂)+(y₂-y₀₁)(y₂-y₀₂)|　R₁ R₂(2)

若|cosA|≥cosDq_允许，即|A|≤Dq_允许，满足光滑条件，不需进行插补运算，可在输出相应的1、2 点之间的数控加工代码后进行下一步骤的运算。
若|cosA| < cosDq_允许，即|A|>Dq_允许，不满足光滑条件，必须进行插补运算，插入点坐标为[(x₂ + x₃)/2，(y₂ + y₃)/2]。
 
图4
近似双圆弧插补法的程序框图如图4所示。

3 结语