2 复杂形状刀具的数学模型

图1 复杂形状刀具几何模型
1. 刀体的数学模型
   为实现对复杂形状刀具的数学描述，必须建立复杂形状刀具刃线及各特征表面的数学模型。复杂形状刀具的特征表面主要包括刀具外形表面(即刀体)、刀具前刀面、后刀面及沟槽等。复杂形状刀具的几何模型如图1所示。
   常用的复杂形状刀具(如圆柱球头刀具、圆锥球头刀具、阶梯形刀具等)的刀体一般采用回转曲面(如圆柱面、圆锥面、球面等)。回转曲面是由一条平面曲线绕该平面上一固定直线旋转所产生的由面、该平面曲线即为回转曲面的母曲线，该固定直线则为回转曲面的轴线。设回转曲面的母曲线L在图1所示坐标系中的方程为
   (1)
   母曲线L绕X轴旋转一周所生成的曲面即回转曲面S的方程为
   (2)
2. 刃线的数学模型
   复杂形状刀具的刀刃通常采用螺旋形刃线，这是因为螺旋形刀刃在切削过程中可改变切屑流向，使切屑沿螺旋槽流出，起到散热、减小切削阻力、防止切屑划伤已加工表面等作用。同时，螺旋角可增大刀具的实际切削前角，提高切削刃的锋利程度。
   复杂形状刀具的刃线主要有等螺旋角螺旋线、等导程螺旋线等。这些刀刃曲线均为普通螺旋线(即变导程、变螺旋角螺旋线)的形式之一，只是确定螺旋线的参数不同。因此，螺旋形刀刃曲线可用通用模型统一表示。在图1所示工件坐标系中刀具回转体的刀刃螺旋线C的方程可表示为
   (3)其中
   当给定刀刃曲线的螺旋角b(x)时，e(x)可通过下式求得：
   (4)
3. 刀具功能表面的数学模型
   刀具的功能表面包括刀具的前刀面、后刀面、刀槽等，设计刀具时，功能表面的表达与其几何参数的定义是紧密相关的。复杂形状刀具的前角定义为法前角，即前角在刀具的法剖面内测量。因此，与刀具前角相关的功能表面的几何结构(如前刀面、刀槽等)及参数均应在法剖面(即测量平面)内描述。复杂形状刀具的后角在端截面内测量，因此，与刀具后角相关的功能表面几何结构(如第一、第二后刀面等)及参数均应在端剖面(即测量平面)内描述。
   以刀具角度测量坐标系作为游动坐标系C-X_mY_mZ_m，则功能表面可视为在其描述剖面内的截形随游动坐标系沿刃线运动所形成的曲面，由此即可建立功能表面的数学模型。设游动坐标系C-X_mY_mZ_m的原点C在工件坐标系中的坐标为(x_c, y_c, z_c)，坐标轴的单位向量在工件坐标系中的表达式为
   (5)
   式中：R——转换矩阵
   在游动坐标系中，刀具功能表面在其描述剖面内的截形方程为
   (6)
   则游动坐标系中一点(X_m, Y_m, Z_m)在工件坐标系中的坐标值为
   (7)
   设(X_m, Y_m, Z_m)为功能表面截形上的任意一点，(x_c，y_c，z_c)随刃线运动，则功能表面在工件坐标系中的数学表达式为
   (8)

3 复杂形状刀具设计的三维可视化

1. 刀具数学模型的建立
   刀具的数学模型是根据刀具的设计要求建立的，包括以下几方面：

   1. 刀具外形数学模型
      复杂形状刀具的刀体为回转曲面，其母曲线方程式(1)需在刀具设计时给出，或根据刀具设计中给出的刀体表面类型(圆往面、圆锥面、球面等)和相关参数(直径、铸角等)等条件推导出。根据母曲线方程即可推导出刀体表面的数学表达式。
   2. 刃线数学模型
      由式(3)可知，当刃线为螺旋线时，刃线数学模型主要与刀体表面的母曲线方程及螺旋角(或导程)函数相关。根据相关设计要求及式(3)可得到刀具刃线方程。
   3. 功能表面数学模型
      功能表面数学模型的建立需具备以下条件：① 功能表面形状(在某剑面内的截形)及参数；② 游动坐标系。
   建立刀具前刀面数学模型时，刃点C_i的游动坐标系由刀具外形曲面在C_i点的法向量N_i、刃线在C_i点的切向量T_i以及T_i与N_i的叉积向量B_i组成，其数学表达式为
   (9)
   因此，游动坐标系与工件坐标系的转换矩阵为 同理，可推导出建立刀具后刀面数学模型时游动坐标系与工件坐标系的转换矩阵为
   由此可见，在建立刀具数学模型时，需进行大量公式推导，包括求解方程通解、函数微分等，而运用Matlab的符号运算功能则可方便地进行这些运算以锥面螺旋线为例，在Matlab曲环境下曲线方程的符号可表示为：
   使用以下两条指令即可求取曲线切向量的数学表达式：
   dc=simple(diff(C, thita));//求曲线C对thita的一阶导数；
   T=simple(dc/radvec(dc));//求单位切向量的数学表达式
   运算结果为：
   采用相同方法可求得曲面卞法向量的表达式，副法向量则可使用B=cross(T, N)指令来求取T与B的矢积。
   复杂形状刀具的功能表面是由其在描述剖面内的截形随游动坐标系沿刃线移动所形成的。绘制刀具的三维图形时，需要的是功能表面的离散值，因此在构建功能表面时．没有必要在求得其数学表达式后再进行离散处理，而可以对功能表面在其描述剖面内的截形进行离散处理，运用数值运算方式得到功能表面的离散值。
2. 刀具模型的数字化处理
   对刀具模型进行数字化处理的目的是获得绘制刀具三维图形所需要的刀具离散值(如刀体表面、刃线及功能表面的截形等)，这些离散值是根据设计要求对建立的数学模型的参变量进行离散处理而得到的。功能表面的离散值是功能表面在刃线上各点处截形的离散值的集合。根据式(7)可计算出游动坐标系中任一点在工件坐标系中的坐标值，因此．只要得到了功能表面在游动坐标系中截形的离散值，即可计算出功能表面在工件坐标系中的离散值。
   运用Matlab强大的矩阵运算功能可决速计算出刀具功能表面的离散值。
3. 刀具图形的三维可视化
   刀具三维图形的绘制是将刀具以直观、形象的三维图形方式表达出来，并可通过对绘制的图像进行任意放大、缩小或旋转来观察三维图形任惫侧面的细微部分。
   对复杂形状刀具进行数字化处理后即可利用Matlab便捷、实用的二维图形处理功能进行刀具的三维显示，步骤如下：

   1. 三维图形绘制：使用Matlab的三维绘图功能根据刀具的数值矩阵，运用mesh指令和surf指令绘制刀具的三维网格图、实体图等；
   2. 三维图形渲染：使用Matlab的图形渲染功能，通过颜色调配(colormap)、表面细化处理(shading)、设置光照效果(light)、周节光照强度(brighten)等操作对绘制的刀其三维图形进行渲染使刀具三维图形更为逼真；
   3. 三维图形观察：使用Matlab的图形编辑功能，用鼠标在图面上直接进行三维图形的放大、缩小、旋转、复制、存储等操作。

4 设计实例

5 结语