进给滚珠丝杠副传动刚度的计算

　　摘要　介绍了进给滚珠丝杠副传动刚度的计算公式与方法，为确定数控机床及精密机械的定位精度和传动精度提供了设计依据。
　　关键词　滚珠丝杠　刚度

Calculatin Driving Rigidity of Ballscrew for Feed

YANG Zu-xiao(12)

Abstract: This article introduces the calculating formula and process of driving rigidity of ballscrew pair for feed. The result supplies a basis to determine positioning accuracy and driving accuracy in design of NC machine tools and precision machines.
Key Words: Ballscrew, Rigidity

　　随着现代科技的发展，机械制造业正不断面临着高速度、高精度等新的挑战。而低刚度的滚珠丝杠副是导致运动丢失的主要原因之一。为了提高数控机床及精密机械的定位精度和传动精度，除了正确设计、选择进给系统的各个部件，精确计算其强度、稳定性和驱动力矩外，还要对精密滚珠丝杠副在承受载荷下的刚度进行验算，以确保其安全、可靠、稳定工作。本文就进给滚珠丝杠副的刚度计算方法进行讨论，并以实例说明其实际应用。

1　进给滚珠丝杠副的轴向刚度

　　进给滚珠丝杠副轴向刚度表示滚珠丝杠副及其支承部件抵抗其轴向弹性变形的能力。用弹簧常数K₁表示，按下式计算

K₁=F/δ₁

式中　K₁——进给滚珠丝杠副传动系统轴向刚度，
　　　　　　N/μm
　　　F——施加于进给丝杠的轴向负载，N
　　　δ₁——进给滚珠丝杠副轴向弹性位移，μm
　　　K_S——丝杠轴向刚度，N/μm
　　　K_N——螺母组件轴向刚度，N/μm
　　　K_B——支承轴承轴向刚度，N/μm
　　　K_H——螺母支架及轴承支架轴向刚度，N/μm

1.1　丝杠轴向刚度计算
　　丝杠的轴向刚度因安装方式不同而不同。
1.1.1　双推—支承安装丝杠的轴向刚度
　　采用双推—支承方式安装丝杠时，丝杠的轴向刚度随载荷作用点至双推支承端的距离变化而改变。其最小刚度K_S按下式计算

式中　A——丝杠的断面积，mm²
　　　　　　（d为螺纹小径，mm）
　　　E——丝杠材料的弹性模量，对于钢材
　　　　　　E=2.07×10⁵MPa
　　　L_a——载荷作用点距双推支承的最大距离，mm
　　附图a为日本精机生产的标准滚珠丝杠双推—支承安装时的轴向刚度图。

滚珠丝杠轴向刚度图

1.1.2　双推—双推安装丝杠的轴向刚度
　　采用双推—双推安装丝杠时，其轴向刚度计算公式为

式中　L——两双推支承端距离，mm
　　由上式可以看出，丝杠采用双推—双推方式安装时，刚度也是变化的，且在处轴向刚度值最小，其最小值。
　　附图b为日本精机生产的标准滚珠丝杠双推—双推安装时的轴向刚度图。

1.2　螺母的刚度
　　为与多数生产厂家产品样本名称统一，本文仍沿用螺母刚度这一名称。螺母刚度实为螺母组件的刚度，包括滚珠和丝杠、螺母螺纹滚道的轴向刚度。
　　根据赫兹接触理论，滚珠和螺纹滚道间的轴向弹性变形量δ_N按下式计算

式中　α——滚珠的接触角，（°）
　　　F——轴向载荷，N
　　　d₀——滚珠直径，mm
　　　Z——每圈有效载荷滚珠数
　　　Z=πD_m/(d₀cosφ)
　　　D_m——螺母公称直径，mm
　　　φ——螺旋升角，（°）
1.2.1　单螺母轴向刚度
　　进给滚珠丝杠副为单螺母时，如果轴向工作载荷等于30％动额定载荷C_a，其刚度K_N=0.8K^′₁（K^′₁为产品样本尺寸表中给出的刚度值）；如果轴向载荷不等于30％动额定载荷C_a时，其轴向刚度按下式计算

1.2.2　带预压载荷的双螺母轴向刚度
　　当预压载荷Fao=0.1C_a时，其刚度K_N按下式计算

K_N=0.8K^′₁

　　当Fao≠0.1C_a时，刚度K_N计算公式为

式中　Fao——预压载荷，N

1.3　支承轴承的刚度K_B
　　不加预压载荷时，轴承轴向刚度按下式计算

K_B=F/δ_B

式中　F——轴向载荷，N
　　　δ_B——轴承轴向弹性位移量，μm
　　施加预压载荷时，轴承轴向刚度计算公式为

K_B=3Fao/δao

式中　Fao——轴向预压载荷，N
　　　δao——在预压载荷作用下，轴向弹性位移，μm
　　各种轴承的轴向弹性位移量δ_B计算公式如下：
　　①自动调心滚珠轴承

　　②圆锥滚柱轴承

　　③止推滚珠轴承

式中　α——接触角，（°）
　　　Q——加于轴承一个滚动体上的载荷，N
　　　d₀——轴承滚动体的直径，mm
　　　l——轴承滚柱的有效接触长度，mm
　　　Z——轴承滚动体个数

1.4　螺母及轴承支承部件的刚度K_H
　　螺母支架的刚度，已在螺母刚度计算时乘以系数0.8计入。
　　轴承安装部件的刚度可通过采用高刚度支承部件解决。

2　进给滚珠丝杠副的扭转刚度

　　影响进给滚珠丝杠副扭转变形的主要因素是丝杠。下面仅就丝杠的扭转刚度进行讨论。
　　丝杠的扭转刚度是指丝杠抵抗扭转变形的能力，其计算公式为

式中　K_T——丝杠扭转刚度，N^.mm/rad
　　　θ——扭转角，rad
　　　M——扭矩，N^.mm
　　　G——丝杠材料抗剪弹性模量，对钢材
　　　G=8.24×10⁴MPa
　　　J_P——截面惯性矩，对实心丝杠，mm⁴

3　进给滚珠丝杠副的传动刚度

　　在载荷作用下，进给滚珠丝杠副的轴向弹性变形为

　　丝杠的扭转变形为

　　此角折算成滚珠丝杠副的轴向变形量为

式中　t——滚珠丝杠导程，mm
　　故滚珠丝杠副总的轴向变形为

　　由可得

（μm）

式中　K——进给滚珠丝杠副传动刚度，N/μm
　　由于δ₂δ₁，所以计算丝杠扭转刚度K_T时，x取以下数值

4　计算实例

　　一进给滚珠丝杠副传动系统采用双推—支承方式。已知数据为：L_a=1800mm，双推支承端轴承为背靠背布置的自动调心滚珠轴承，钢珠直径5.556mm，钢珠个数Z=15，接触角α=30°，轴承预紧力Fao=3kN；滚珠丝杠型号为BNFN3612—2.5GO，滚珠中心圆直径d_p=37.5mm，滚珠直径为7.144mm，基本动额定载荷C_a=27.2kN，预紧力Fao=0.1C_a，要求计算其系统传动刚度。计算步骤如下：
　　（1）丝杠轴向刚度计算

　　（2）计算螺母刚度　按已知条件，从产品样本尺寸表中查得K^′₁=750N/μm，K_N=0.8K^′₁=0.8×750=600N/μm。
　　（3）计算支承轴承刚度　支承轴承为自动调心滚珠轴承且预紧，因此

　　（4）螺母支架及轴承座刚度K_H　螺母支架刚度已在前面计算螺母刚度以系数0.8计入，在此不予考虑。设轴承座刚度非常大，即→0，于是，该系统滚珠丝杠副的轴向刚度K₁可通过以下计算求得为

　　（5）丝杠扭转刚度　由滚珠丝杠型号可知其导程t=12mm，从产品样本尺寸表中查得丝杠螺纹小径d=30.1mm，代入公式计算得

　　（6）计算系统传动刚度　由公式

　　得　　K=60　　（N/μm）