滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

　　摘　要：介绍了滚切任意齿形工件的滚刀通用设计方法，据此推导出滚切正多边形工件用滚刀的齿形计算公式，并给出了设计实例。
　　关键词：任意齿形　正多边形　滚刀

Tooth Profile Design of Hobs for Hobbing
Regular Polygon Workpieces

Zhang Baoming

　　Abstract：An universal method of designing hobs for hobbing arbitrary tooth profiles is introduced．The calculating formulas of tooth profiles for hobbing regular polygon workpieces are deduced，and a design example is given．
　　Keywords：arbitrary profile　regular polygon　hob

　　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。

一、设计原理

　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：

图1

图2

　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x₀o₀y₀；
　　（2）确定共轭时的节圆半径r_j；
　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式

式中　φ＝π／2－α－δ

（3）

　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／r_j

（4）

　　　tgδ＝dy／dx

（5）

　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x₀o₀y₀为刀具坐标系，随刀具平移。x₁o₁y₁为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。

二、设计步骤

　　1．引入各坐标系
　　各坐标系见图3所示。

图3

　　2．确定节圆半径r_j
　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为

（6）

式中，r_a为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故

r_j＝r_a

（7）

　　3．写出工件齿形方程
 　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为

y＝a

（8）

　　4．求刀具齿形公式
 　　①按式（5）得　
 　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／r_j＝x／r_j＝x／r_a，即

cosα＝x／r_a

（9）

　　③按式（3）得

（10）

　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得

（11）

（12）

　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得

cosα_min＝x_D／r_a＝ED／r_a＝（l／2）／r_a

（13）

　　式中l为正n边形的边长。
　　当α在E点时，据式（9）得　　

cosα_max＝x_E／r_a＝0
α_max＝90°

　　这样，在α_min～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径r_a，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：

x₀＝xsinα－acosα＋r_a（90°－α）π／180°

（14）

y₀＝r_a－xcosα－asinα

（15）

cosα＝x／r_a　（x＝r_acosα，x＝0～l／2）

（16）

α_min＝arccos（l／2r_a）

（17）

α_max＝90°

（18）

法向齿距P_n＝2πr_a／n

（19）

三、滚刀计算实例

　　已知正六边形工件如图4所示。

图4

　　则　r_a＝20
　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
　　
　　arccosα_min＝（l／2）／r_a＝62．46765222°
　　α_max＝90°
　　x＝0～9．244986479
　　将α在α_min～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。

表

αα_min64°65．5°…71．5°…86．5°88°89°90°x＝（15）式9．2458．7678．294…6．346…1．2210．6980．3490x₀＝（13）式9．6109．1818．745…6．848…1．3580．7770．3880y₀＝（14）式00．2170．422…1．168…2．2242．2512．2622．265

滚刀法向齿距P_n＝2πr_j／n＝2πr_a／n＝2π×20／6＝20．944

图5

　　图5中，x₀轴以上节线为曲线齿形，x₀轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按α_min及邻近α处的x₀，y₀坐标计算得出。本例取α_min及α＝65.5°的坐标值，则

arctgβ／Δx₀／Δy₀＝9.610－8.745／0.422＝64°

　　全齿深在y₀、α_max基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y₀轴，故取代用圆弧圆心位于y₀轴上，令代用圆弧半径为R_a，坐标距离为x_a，y_a，则根据几何关系可得弓形高EO₀为

即

经整理得

（20）x_a＝x₀α_min（21）y_a＝R_a－y₀α_max（22）

　　本例中y₀α_max＝2．265，x₀α_min＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：R_a＝21．519mm，x_a＝9．610，y_a＝19．254。