普通杠杆表的测量原理是将测头转动角度的正弦值转换放大为表盘指针的转角。在测量过程中，若被测平面与测杆轴线间的夹角超过5°，就会引起较明显的附加示值误差。为了解决这一问题，我们设计制造了一种梨形测头，如图1所示。通过对装有梨形测头的杠杆表进行实测试验，结果表明，即使被测平面与测杆轴线间的夹角达30°，也不会引起较明显的附加示值误差。采用梨形测头可提高杠杆百分表和杠杆千分表的使用精度，具有一定推广价值。
图1
1．梨形测头曲面的数学模型
测量过程对梨形测头曲面有两点基本要求：（1）在测量范围内，任意两点之间的直线长度应有与之对应的一段弧长；（2）被测长度在曲面与被测平面的切点的法线上。由此可以判断，梨形曲面应是一段渐开线的旋转面，渐开线的基圆圆心在测杆的转轴上，基圆半径为测杆的理论长度，而测杆理论长度则应在消除了原测杆正弦机构理论误差的情况下重新计算出来。
梨形测头在基圆以内的部分仍然采用球面，其半径为Sr，但该球面应与渐开线旋转面吻合连接。
（1）基圆半径Rd（即测杆长度）的计算
杠杆表测头在图2所示位置时，有
S＝αRd
b／sinα＝c／sin（β－α） （1）
β＝arcsin［（c／b)sin（S／Rd）］＋S／Rd
式中 S——杠杆表量程
α——测杆转过的弧度
β——扇形齿轮转过的弧度
图2
由图2所示传动关系β／2π＝Z1／Zf，Z1／Zx＝Z2／Ze可得
Z1＝βZf／2π
Z2＝βZfZe／2πZx
式中 Zf——扇形齿轮齿数
Zx——轴齿轮齿数
Ze——端面齿轮齿数
Zn——指针轴齿轮齿数
Z1——Zf与Zx啮合的齿数
Z2——Ze与Zn啮合的齿数
若杠杆表指针转过的弧度数为rad，则有
rad＝2πZ2／Zn＝βZfZe／ZxZn
令rad＝2π，则有
β＝2πZxZn／ZfZe
将上式与（1）式比较可得
arcsin［（c／b）sin（S／Rd）］＋S／Rd＝2πZxZn／ZfZe
或 （c／b）sin（S／Rd）－sin［（2πZxZn／Zfｓe）－（S／Rd）］＝0 （2）
由（2）式即可求解出Rd。
用牛顿法求解Rd的Qbasic程序为：
10 INPUT b，c，S
20 LET Rd＝16
30 LET Bita＝ANT（1）8ZxZn／Zf／Ze
40 LET Y＝c／bSIN（S／Rd）－SIN（Bita－S／Rd）
50 LET Yd＝S／Rd＾2（COS（Bita－S／Rd）－c／bCOS（S／Rd））
60 LET Rd＝Rd－Y／Yd
70 IF ABS（－Y／Yd／Rd）＝0．00001 THEN 90
80 GOTO 30
90 PRINT “Rd＝”；Rd
100 END
（2）极坐标方程的建立
如图3所示，首先计算梨形曲面渐开线的起始角A。
图3
θ＝arctg（Sr／Rd）
A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（Sr／Rd）
梨形曲面的极坐标方程为
ρ＝Rd／cost
invt＝tgt－ｓ
式中 ρ——极径
t——压力角（rad）
invt——展开角（极角）
（3）球面半径Sr的计算
如图1所示，如果设定允许测杆偏离轴线的角度为t0，则
θ0＝tgt0－t0
Sr＝Rdtgθ0＝Rdtg（tgt0－t0）
注意：测头根部半径为Sr的球面的球心高于基圆。
2．渐开线型面坐标点的计算
渐开线型面的直角坐标方程为
求渐开线型面坐标点的Qbasic程序如下：
10 INPUT Rd，Sr
20 LET A＝ATN（1）2－ATN（Sr／Rd）
30 PRINT “t”，“x”，“y”
40 FOR t＝0 TO 1 STEP 0．01
50 LET p＝Rd／COS（t）
60 LET INVt＝TAN（t）－t
70 LET x＝pCOS（INVt＋A）
80 LET y＝pSIN（INVt＋A）
90 PRINT t，x，y
100 IF x＝0 THEN 120
110 NEXT t
120 END
利用此程序求梨形测头顶点的方法如下：运行一次程序后，用倒数第二个t值代替第40语句中“＝”号后的数，并把“STEP”后的数乘以0．01。如此反复操作，直至y值在万分位之前不发生变化为止。这一y值就是顶点M（0，Ymax）中的Ymax值。然后用求极值的方法求Xmax，计算公式为
令，则
sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）
从而解出
代入（3）式得
由此可求出梨形测头的腰径为
φ＝2Rdarctg（Sr／Rd）＝2Rdarctg［tg（tgto－to）］＝2Rd（tgto－to）
为便于在数控车床上加工梨形测头，在程序的40语句中选择适当的STEP的值，得到60多个坐标点，并将含有Xmax的N点和含有Ymax的M点纳入其中，在设计图上制成表示坐标点的表格。最后在视图上标出与梨形测头的顶点、腰径和渐开线基圆等有关的其它尺寸。
