倒角刀具的设计任务就是根据工件齿廓母线，确定刀具造形圆柱体的几何参数(半径及空间位置坐标)。

附图

1 设计任务

齿轮倒角刀具用于在齿轮倒角机上对汽车变速器齿轮接合齿进行齿端倒圆角及齿廓倒棱加工。倒角加工采用仿形法切削原理，即刀具刃口曲线与工件齿廓母线相同，工件齿廓由刀具切削刃通过机床进给运动和刀具回转运动切削成形。倒角刀具有四个对称切削刃，由四个形状相同、相对于刀体中心线对称分布的造形圆柱体形成(见附图)，圆柱体的半径及相对位置决定了刀具刃口齿廓形状。倒角刀具的设计任务就是根据工件齿廓母线，确定刀具造形圆柱体的几何参数(半径及空间位置坐标)。

2 设计思路

假设刀具造形圆柱体已确定，将其半径和位置坐标作为待定参数，建立其在某一坐标系下的参数方程，然后求出两圆柱体的相贯线方程(即刀具刃口方程)：将工件齿廓母线方程上的已知点代入刃口方程，即可确定刀具造形圆柱体的设定参数，从而确定圆柱体坐标方程。

3 设计计算

建立如附图所示坐标系O₁-x₁y₁z₁。作两正交圆柱体V₁、V₂，其回转中心线分别过坐标轴x₁、y₁，并设圆柱体半径为R。圆柱体V₁由过点P(0，0，-R)的直母线l₁绕x₁形成。其中点P的径矢为 r=(0，0，- R)(1)

直母线l₁矢量为 l(l)=(l，0，0)(2)

l₁初始位置矢量方程为 r(l)=r^(B)+l(l)(3)

绕x轴旋转的变换矩阵为

则圆柱面V₁的矢量方程为 r(l,Ø)=A_xr^(B)+l(l)即 (4)同理，圆柱体母线l₂矢量为 r(l)=(0，l，0)

绕y 轴旋转变换矩阵Ay (ψ)为 可得圆柱体V₂的矢量方程为 (5)

由几何学原理可知:两回转半径相等、回转中心线相交且垂直的圆柱体的相贯线为一平面曲线(椭圆)，该平面与两回转中心线成45°夹角。因此可进行如下坐标变换:将原坐标系O₁-x₁y₁z₁绕z₁方向旋转θ=-45°，使相贯线s落在yOz坐标平面上，再将坐标圆点O₁沿yOz平面上的向量r₁^(A)平移至点O(刀顶中心点)，得到新坐标系O-xyz(见附图)。令O点为刀具顶点，在坐标系O-xyz 下，圆柱体₁、V₂的相贯线方程即为刀具刃口齿廓方程。

令坐标系原点平移向量r₁^(A)为 r₁^(A)=(x_A，y_A，z_A) (6)

由以上分析知:θ=-45°，r₁^(A)在yOz坐标平面上，因此有:x^(A)=y^(A)。

绕z轴旋转的变换矩阵为

其逆矩阵为

由坐标变换公式 r_m-1⁽ⁿ⁾=A_z(θ)r_m⁽ⁿ⁾+r_m-1^(A)可得 r_m⁽ⁿ⁾=A_z^-1(θ)(r_m-1+r_m-1^(A))式中，r_m-1⁽ⁿ⁾代表在原坐标系下的几何体向量，r_m⁽ⁿ⁾代表在新坐标系下的几何体向量。

于是，圆柱体V₁在新坐标系O-xyz下的向量方程可写为 r=A_z^-1(θ)(r₁-r₁^(A))即 (7)令x_A=y_A=y₀，z_A=z₀，θ=-45°。代入式(7)可得 (8)

其坐标方程为 (9)

在式(9)中消去参数l，可得 y-x=√2(2RsinØ-2y₀)=√2(RsinØ-y₀)2sinØ=(y₀+y-x)/R√2

代入式(9)，可得 (9)或 (z+z₀)²+(√2y+y₀-√2x)²=R²22(10)由于V₁、V₂的相贯线s为一平面曲线，且位于Oyz坐标平面上，因此可证明s等价于V₁与Oyz坐标平面的交线。将x=0代入式(9)，可得相贯线s的方程为 (11)化简式(11)可得 (z+z₀)²=R²-(y₀+y)²√2

由此可得 (z+z₀)²+(y+√2y₀)²=1R√2R(12)

式(12)即为刀具刃口在坐标系O-xyz下的参数方程。设已知刃口曲线s上的三点M₁(y₁，z₁)，M₂(y₂，z₂)，M₃(y₃，z₃)，将其分别代入刃口方程(12)，可得到关于R，y₀，z₀的联立方程组为 (13)

解此方程组可得(推导过程略) x₀=y₀=-1(z₁-z₃)[2(z₁-z₂)(z₃-z₂)-(y²₁-y²₁)]+(z₁-z₁)(y²₁-y²₁)2√2(y₁-y₃)(z₁-z₂)-(y₁-y₂)(z₁-z₃)(14)z₀=-1(z₁+z₂)-1y²₁-²₂-√2y₁-y₂y₀24z₁-z₂2z₁-z₂(15)(16)

求解R、y₀、z₀，即可确定两圆柱体V₁、V₂的相贯线s在O-xyz下的方程，从而确定圆柱体在坐标系O-xyz下的方程。根据圆柱体在O-xyz下的方程式(10)，即可用于制作、刃磨刀具。

4 设计实例

在附图所示坐标系下，已知某接合齿的齿端齿廓为渐开线旋转面，齿廓母线上三点(齿根、分圆、齿顶)的坐标计算值为:M₁(2，0)，M₂(4，-6)，M₃(8，-12)。将其代入式(14)、(15)、(16)，分别计算出参数:x₀=y₀=-31.82，z₀=-4.00，R=30.67。新坐标系O-xyz的原点O在原坐标系O₁-x₁y₁z₁下的径矢r₁^(A)为 r₁^(A)=O₁r=(x₀，y₀，z₀)=(-31.82，31.82，-4.00)

在新坐标系O-xyz下，原坐标系的原点O₁的径矢OO₁为 OO₁=-O₁O=(31.82，31.82，4.00)

以O₁(31.82，31.82，4.00)点为坐标原点，作z₁轴平行于z 轴：绕z₁轴逆时针旋转45°，得到坐标系O₁-x₁y₁z₁：分别以坐标轴x₁，y₁为回转中心、以R=30.67为回转半径作两切削圆柱体，所得相贯线即为所设计刀具的切削刃。

将工件齿廓母线上已知三点的坐标值代入刀具刃口方程进行计算，实质上是用三点法近似替代工件齿廓母线，使生成相贯线的实体为圆柱体，以便于刀具的制造与刃磨。