| 摘要：提出一种用于新型并联机床的粗、精插补策略和算法，粗插补采用直接对加工曲面进行插补的方法。以NURBS 曲线为例，运用合理计算方法推导出粗插补计算公式，并对粗、精插补进行了误差分析。插补实例结果表明，该插补算法具有恒速进给、加工表面轮廓误差易于控制等特点。 |
1 并联机床结构布局
图1 新型并联机床结构布局简图
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并联机床(又称为虚拟轴机床)是二十世纪九十年代中期问世的一种新型结构数控机床，它以并联机构作为主进给机构，具有加工精度高、结构抗振性好、切削稳定性好等特点。并联机床与传统数控机床的本质区别在于其刀具在工作空间的运动是关节空间伺服运动的非线性映射(虚实映射)。一个典型的数控系统中包含了插补器和伺服控制器，而并联机床的插补器是以运动学逆解作为轨迹计算的基础。 图1所示为一种新型并联机床主进给机构的结构布局简图。该并联机床的主体为一四自由度空间并联机构，该机构由固定平台(A1，A2，A3)和动平台(B1，B2，B3)组成。固定平台与动平台之间通过四条驱动腿联接。其中，周围的三条驱动腿(长度分别为l1、l2、l3)与固定平台之间通过虎克铰联接，与动平台之间通过球铰联接；中间的驱动腿(长度为l4)一端与固定平台中心O刚性固联，另一端通过球铰与动平台联接。 2 并联机床运动学逆解数学模型
建立图1所示坐标系。基础坐标系o-xyz的原点位于固定平台中心，z 轴垂直于固定平台。动平台的姿态可由以下三个连续旋转得到:绕基础坐标系的z 轴旋转α 角，绕变换后的x轴旋转β角，再绕变换后的z"轴旋转γ角。其位置逆解表达式为 | ‖Li‖=‖(x，y，z)T+RPBi-PAi‖=‖(lxi，lyi，lzi)T‖ (i=1，2，3，4) | (1) |
式中，R为旋转矩阵，可表示为 速度逆解表达式为 | L·=G-1P· | (2) |
式中，G为速度传递矩阵，它反映了控制空间向工作空间速度传递的广义传动比。 3 并联机床插补算法分析
图2 并联机床数控系统原理
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3.1 插补方案
并联机床的CNC系统软件一般采用粗插补与精插补分开进行的方式(见图2)，即首先在工作空间中对直线、圆弧轨迹段以及由标准CAD/CAM刀位文件描述的刀位轨迹进行粗插补，得到刀具轨迹上离散的控制点，运用式(1)、(2)对离散点序进行虚实变换，计算出关节空间各伺服驱动腿的位置和速度，将其送入PMAC(多轴运动控制器)，然后由PMAC提供的PVT(位置、速度和时间)插补模式对伺服轴上的离散点进行精插补。 3.2 粗插补算法
现以三次NURBS曲线为例对粗插补算法进行分析。由于NURBS曲线轨迹的计算较复杂，为提高NURBS曲线插补的实时性，在插补前需进行必要的预处理，以减少实时插补的计算量。将NURBS曲线用分段矩阵形式表示并化简，则第i段曲线的化简结果可表示为 |
| pi(u)= | a+bu+cu2+du3 | | (0≤u≤1) |
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| a1+b1u+c1u2+d1u2 |
(3) | 式中，系数a、b、c、d、a1、b1、c1、d1由控制顶点和权因子决定。 根据CNC系统采样插补工作原理，实时插补的任务是根据给定的进给速度产生插补直线段用于逼近实际曲线。为使加工面上的切削速度保持恒定，采用直接对加工曲面进行插补的策略，并假定在一个插补周期内切削路径上的进给步长为VT(V为进给速度，T为插补周期)。对插补过程讨论如下:假设在当前插补点pi(uj)处有一微小参数增量δu，对应于该参数增量的弦长为δL，则弦长为VT时的参数增量可表示为 |
| Δu= | VTδu |
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| δL |
(4) | 由于δu为微量，因此有δL/δu≈|pi(u)|/u=|pi(u)|(pi(u)的表达式为一段已知的三次NURBS曲线)，为减少插补过程的计算量，|pi(u)|的表达式可在插补之前求得，这样在插补过程中就省去了对曲线的求导过程。令Ri(u)=1/|pi(u)|，则对第i段曲线进行插补的参数表达式为 | uj+1=uj+Δu=uj+VTRi(uj) | (5) |
图3 插补几何模型
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图3所示为对一凸曲线进行插补的几何模型，图3a中pi(uj+1)为期望插补点，pi(uuj+1)为实际插补点，直线pi(uj)q为点pi(uj)处的切线，当切线pi(uj)q与弦pi(uj)pi(uj+1)平行时，实际插补进给步长|pi(uj)pi(uj+1)|与期望插补进给步长|pi(uj)pi(uj+1)|相等。由于pi(uj+1)为待求的期望插补点，弦pi ( uj)pi(uj+1)的方向未知，因此用曲线段pi(uj)pi(uj+1)的中间点pi[(uj+uj+1)/2]处的切线近似取代与弦pi(uj)pi(uj+1)平行的切线(见图3b)，这样式(5)可用更精确的表达式表示为 |
| uj+1=uj+VTRi(uj+ | uj+1-uj | ) |
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| 2 |
(6) | 式中，uj+1为待求插补点处的参数值，它是一未知量。由于每一插补段均为微小段，连续两段插补段之间的参数增量变化不大，因此可将式(6)表示为 |
| uj+1=uj+VTRi(uj+ | uj-uj-1 | ) |
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| 2 |
(7) | 式(7)即为插补运算的最终表达式。 3.3 精插补算法
PMAC(多轴运动控制器)提供了多种精插补模式。PVT插补模式(又称为位置、速度和时间运动模式)可为用户提供更为直接的控制轨迹形状。在PVT模式下，轨迹段插补周期T为一设定的常数，加速度与时间成线性关系，因此位置是时间的三次曲线函数。在给定PVT段的位置、速度和加速度随时间的变化关系可表示为 |
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| C(t)=C0+v0t+ | 1 | a0t2+ | 1 | λt3 |
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| 2 | 6 |
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| v(t)=v0+a0t+ | 1 | λt2 |
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| 2 |
| a(t)=a0+λt |
(8) | | 式中，λ= | 12v0 | + | 6Δv | - | 12ΔC | ，a0= | Δv | - | τλ | 。 |
| | | | |
| τ2 | τ2 | τ3 | τ | 2 |
4 并联机床插补误差分析
并联机床的插补误差可分为在工作空间的粗插补误差和在控制空间(关节空间)的精插补误差。并联机床的粗插补误差主要与插补周期、速度对插补精度的影响有关。由于按上述算法得到的所有插补点均在曲线上，无径向误差，因此误差主要来源于进给步长逼近实际曲线所引起的弓高误差和实际切削进给步长与期望切削进给步长之间的误差。插补的弓高误差Δh与步长ΔL以及曲率半径ρ之间的近似关系式为 |
| Δh= | ΔL2 |
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| 8ρ |
(9) | 由于曲率半径计算相当复杂(尤其对于NURBS曲线)，因此可选取曲线段的中点和弦的中点之间的距离近似表示弓高误差，即 |
| Δh= | | Pi(uj+1)+Pi(uj) | -Pi( | uj+uj+1 | ) | |
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| 2 | 2 |
(10) | 实际进给步长与期望进给步长之间的长度误差为 | Δε=VT-|pi(uj+1)-pi(uj)| | (11) |
Δε的大小将影响切削进给速度的平稳性，从而影响加工表面质量。 并联机床的精插补误差主要与虚实映射的非线性特性及PVT插补有关。由前述插补方法可知，并联机床首先在工作空间进行粗插补，通过虚实映射变换将数据转换到关节空间，最后由PMAC进行PVT精插补。这种插补方法虽能保证工作空间离散插补点的精确性，但由于PVT插补模式转换到工作空间将产生复杂的轨迹曲线，因此在两离散点之间将引起实际轨迹与理想轨迹之间的差异。设PVT模式精插补产生的误差为ΔC(ΔL1，ΔL2，ΔL3，ΔL4)，在工作空间形成的对应误差为Δq(ΔZ，Δα，Δβ，Δγ)，由此可得 | Δq=M-1ΔC | (12) |
式中，M-1为由伺服轴PVT插补误差转换到刀具轨迹误差的线性映射矩阵。
图4 两种插补方法的切削加工进给速度比较
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图5 两种插补算法的弓高误差对比曲线
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5 插补实例
设第i段插补曲线为pi(u)={3u/(u3+1)，2u2/(u33+1)，u3/(u3+1)}(0≤u≤1)，假定插补期望进给步长VT=0.04mm，周期T=0.01s，允许弓高误差δh≤0.001mm。运用式(7)方法在刀具作业空间对曲线进行粗插补，并分析计算插补误差。图4所示为分别采用两种插补方法(对刀位轨迹(球形刀具的球心轨迹)进行插补和直接对加工曲面进行插补)时切削进给速度波动的对比情况(图中实线1表示期望切削进给速度曲线，点划线2表示直接对加工曲面进行插补时的切削进给速度曲线，虚线3表示对刀具球心轨迹进行插补时的切削进给速度曲线)：图5所示为分别采用两种插补算法(本文提出的插补算法和参数均匀分割插补算法(Δu=0.05))时弓高误差变化曲线的对比情况(图中实线1表示本文提出的插补算法，虚线2表示参数均匀分割插补算法)。由图可见，本文提出的插补算法可实现切削进给速度的近似恒定，提高插补弓高误差变化的平稳性，从而可提高并联机床的加工质量。 6 结语
本文提出一种基于粗、精插补策略的新型并联机床插补算法。在粗插补中采用了直接对加工曲面进行插补的方法(以三次NURBS曲线为例)，插补实例的计算结果表明: - 采用直接对加工曲面进行插补的粗插补方法可获得较高的加工平稳性，提高并联机床的加工质量。
- 通过在插补过程中合理运用近似算法，可减少插补计算量，保证插补算法的实时性。本文提出的针对工作空间的粗插补算法适用于以参数方程表示的任意空间曲线。
