由于导轨受热弯曲，破坏了导轨及其上部件与机床主轴的平行或垂直系统，降低机床的加工精度，致使被加工零件的跳动误差增大。第三是引起部件移动的直线度变化。热变形引起导轨弯曲，从而导致工作台部件运动平面的弯曲，使得运动部件移动时出现直线度误差，造成被加工零件不必要的直线度误差出现<4>. 数学模型的建立之一导轨长度随温度变设导轨材料为钢材，其线膨胀系数为，常温下（温度为t0=20）导轨的有效长度为L0，温度为t时的长度为L，根据热膨胀理论可得导轨长度对温度变化的微分方程：dL/L=dt，结合相应的边界条件积分后，即可得到导轨长度随温度变化的数学模型<3>：L=L0e（t-20）在以往的生产实际中，考虑到钢材的热膨胀率很小，约为1210-6，为了简化计算，常将上式中的e（t-20）项进行简化处理，即取：e（t-20）1+（t-20）若设温差为t（=t-t0），导轨热伸长量为L，则有：L=L-L0=L0<1+（t-20）>-L0=L0t这就是往常使用的导轨随温度变化的计算模型。 数学模型的建立之三抛物线说在实际应用中，利用悬链线理论建立的模型计算比较复杂，因此在粗略设计中采用较少。根据前面的假设条件，床身导轨热变形后的受力与电线的受力类似，只是受力的方向不同而已。因此可以认为，导轨热变形后的形状也是悬链线。但在实际工程设计中，当悬链线两端距离不大时，尤其像导轨热变形后的悬链线，两端距离很小，为了简化双曲余弦函数的计算，常把悬链线近似地当抛物线对待。因此可以建立如所示的坐标系。 设抛物线的焦距为p，导轨热变形最大上拱量为h，根据平面解析几何知识可得抛物线方程为：x2=-2py根据假设条件可知，当x=%L/2时，y=h，代入上式得：p=L2/8h因此，导轨热变形后所呈抛物线的方程为：x2=-L24hy这就是利用抛物线理论建立的导轨热变形数学模型。 在实际确定具体导轨的模型时，可以通过测定导轨中点的上拱量h，初步建立模型，然后根据实际情况进行修正。具体修正法就不再探讨了。 数学模型的建立之四力学分析说基于前面的假设，根据材料力学知识，导轨热变形后的形状（所示）属于导轨梁弯曲后产生的挠曲线，如果用y来表示距A支撑点x远处的热变形量，则其数学方程y=f（x）可按下列方式推导出来：中梁弯曲变形前和变形后的截面梁段分别表示于（a）、（b）、（c）。即在所示中的A-A附近截取一小段梁，构成来对A-A截面进行受力与变形分析。 将（7）代入挠曲线微分方程得：EIZy（=qLx/2-qx2/2（8）对上式两边积分得：EIZy=qLx2/4-qx3/6+C1再积分得：EIZy=qLx3/12-qx4/24+C1x+C24）由边界条件确定积分常数：当x=0时y=0得C2=0当x=L时y=0得C1=-qL3/245）由此得挠曲线方程为：y=-q24EIz（x4-2Lx3+L3x）考虑到导轨在实际工作时受到的热变形作用力应向上，所以上式各项前面的运算符号反改后就是机床导轨热变形后的数学模型。即：y=q24EIz（x4-2Lx3+L3x）模型的修正与应用探讨在实践当中，机床导轨在受热时，不但存在上拱的变形，同时也可能存在前凸或后凸的变形，还有机床导轨实际形状与理想形状的差异等。因此，为了进一步提高机床精度，对由于导轨出现前凸或后凸的变形，使得导轨所受的均布载荷发生变化，需要对均布载荷q加以修正。同时，由于导轨的实际形状与假设的理想形状之间存在差异，使得导轨的实际截面惯性矩与理想导轨的截面惯性矩不同而需要对惯性矩IZ进行必要的修正。通过使用修正后的机床导轨热变形的力学模型进行导轨设计，必然能够更接近导轨热变形的实际情况，提高机床的设计精度。至于具体的修正方法，由于篇幅有限，此处不再探讨。
